数学（以及整个科学）会走向黄金时代，还是黑暗时代？

[本文是 Francesco Maggi 的客座文章。这篇博文最初以另一种文件格式写成，之后由 AI 转换完成。（T. 注）]

大语言模型（LLM）以及围绕它们搭建的研究系统（通常被统称为“人工智能”）在生成数学证明方面展现出了惊人的能力。这些工具的质量与边界至今仍未被完全摸清，但它们加速发现、推动数学乃至整个科学技术领域取得非凡进展的潜力，似乎已经相当明确。

要抓住这份潜力，就需要把 LLM 谨慎地融入各个 STEM 生态，并把几件事放在优先位置，赋能新一代科学家，培养新的 STEM 专业能力，维护一个开放、协作、思想独立的科学事业。这就是标题所说的“黄金时代”情景。而在“黑暗时代”情景中，科学技术产出短期内仍会大幅增长，但与此同时，人类独立的科学活动会逐步萎缩，新知识的生产越来越集中在少数人手里，而这少数人越来越无力理解被生产出来的知识。真正的黑暗，是知识变得与人类的理解格格不入。

现实很可能是这两种情景的混合。我将用八点来审视塑造这一结果的各种选择，从数学出发，扩展到更广泛的科学，最后给出可付诸行动的提议。

（1）技术突破是真的！但是……

显而易见，LLM 已经成为强大的研究工具。近来由 LLM 生成的证明，比如带强迫项的 Navier–Stokes 方程有限时间爆破解的构造，或是对拟黎曼猜想的证明提案，都值得数学家给予最高程度的关注。要评估它们的意义，离不开数学界持续、独立的审视、解读与消化吸收。

LLM 最擅长的似乎是用 Lean 写证明。（Lean 是一个证明助手，计算机可以用它检查一个形式论证在给定定义和公理下是否成立。）对于那些我们真正希望 LLM 帮上忙的困难定理，这些 Lean 证明极其冗长，动辄几十万行代码。一个看似新出现的趋势是，证明的 Lean 版本越长，机器生成的“自然语言”译文就越混乱、越不忠实。我们不清楚为什么 LLM 在这类翻译上表现得如此糟糕，但至少到今天为止，它们确实很难胜任这项任务。于是，对于那些真正重要的问题，LLM 能给出我们无法直接阅读的正确 Lean 证明，以及混乱到需要数学家深入研究才能带来人类理解的自然语言译文。尽管这个具体的翻译问题未来也许会改变，但由此引出一个根本问题。

如果没有人类的理解，我们为什么要在意研究数学，甚至为什么要在意获得证明，除了拿 LLM 做基准测试之外？

数学是一种非常独特的人类产物。它似乎在人类认知方式中有深层的生物学根源。我们识别（人、动物、物体），因此我们计数，我们有了数。我们似乎天生就有空间和时间的概念，并用数来量化和度量它们。某些基本形式的算术和几何几乎可以说是人类与生俱来的。不同的文明建立起了不同种类的数学，即便在最近的数学史中，数学探究领域的范围也急剧扩大，有时甚至是偶然的。

（我们甚至可能面对这样一种局面，一边是人类的数学，一边是 LLM 的数学。这也许不仅在语言层面上成立，在更深层的意义上也是如此，只是现在下结论还为时过早。）

因此，我不认同“机器能证明定理，所以数学已经终结”这类说法。没有理解数学的人，字面意义上就不存在人类的数学，而这是人类文化的一个根本组成部分。如果我们同意，不应仅仅因为理解拙劣的机器挫伤了我们以人类为中心的数学观就放弃数学，那么社会将需要更多数学家，而不是更少。是……多得多。

（2）健康的科学怀疑精神与 LLM 创造力的边界。

LLM 在数学上取得的成果非同寻常，围绕其未来能力的兴奋也相当可观，而有时我觉得，人们缺少一份冷静，这对科学方法并不公平。非凡的表现应当被当作一个有待研究的现象来接受，而不是当作关于智能、创造力乃至意识的推测性结论的证据。后几者属于科学探索中最难的正当课题。对待它们，应当给出明确定义、可检验的假设和经验证据。对那些由观察到的能力引发的惊叹之后必然随之而来的、关于社会必将转型的笼统预测，同样应当如此。我们似乎太容易忘记，这些技术的社会后果不会仅由它们的能力决定，更重要的是由我们如何选择去开发这些能力、如何把它们整合进既有制度来决定。没有什么结果是注定的，但科学领导力和政治领导力都急需。

今天我们对 LLM 的数学能力知道些什么？理论洞见与经验洞见都支持同一个结论，LLM 极擅长重组已有的智识结构，并在科学文献中相距遥远的部分之间发现此前未被注意到的联系。更进一步，LLM 做这件事的规模是单个研究者无法企及的。至于它们在证明定理上那种近乎诡异的有效性究竟可以完全解释为高度复杂的语言重组，还是牵涉到其他尚未被描述和理解的合成推理形式，这在今天是一个悬而未决的科学问题。

有一点似乎尤其难以判断，就是 LLM 在某个问题上的表现与相关数学文献的丰富程度之间是什么关系。毕竟，商业开发者对自家模型如何运作并不透明，也不可能透明。举例来说，Navier–Stokes 方程和 Riemann 猜想都是数百位最杰出的数学家所建立的庞大文献的研究对象。这里或许有值得琢磨的地方。毕竟，OpenAI 发布他们的“Tuesday October 6, 2026, Drop”时提到，他们尝试了 4000 个问题，并报告其中数百个获得成功（这是按“聚合”和“筛选”之后统计的）。那里的措辞有些含糊，但似乎仍暗示存在一个可能相当大的问题集合，前沿 LLM 在其中未能找到解。从科学角度看，知道这些问题是哪些会非常有意思。也许那些问题比 NS 和 RH 更有意思？又或者，它们周围的土壤对 LLM 前来帮忙而言不够肥沃？对于想要推进数学进展的人来说，这些都是重要问题，我们怎样才能让 LLM 处在最有利于提供帮助的位置上？

（3）数学化。

数学界似乎已基本达成共识，人类的某些数学功能无法还原为定理证明。其中尤为重要的是数学化。

发明一种数学语言，使现实（包括数学结构本身）得以在定量和理性层面被理解的行为。

Newton、Fourier、Riemann、Einstein、Shannon、Grothendieck，他们最伟大的数学贡献都可以被视为数学化的最高典范，因为这些贡献包含了数学语言和概念框架的发明，而这些语言和框架改变了整个知识领域。

我们不知道 LLM 能否进行数学化。我的猜测是，它们应该能够（或最终能够）对数学结构进行数学化，也就是对现实中一个非常特定的部分进行数学化。但它们能否更进一步，至少能否以之后可以高效转化为自然语言的方式更进一步，这一点就远没有那么清楚了，这里又回到人类理解的问题上。

在我看来，让证明成为一种更容易获得的商品，由此带来的最令人兴奋的机会在于，不久的将来我们或许能够进行比以往多得多的数学化。在自然科学和社会科学的广大领域中，我们进行数学化的能力在很大程度上一直受制于获得证明的难度。事实上，没有证明，就很难确立一个理论的推论，也很难将其与观察到的现象进行比较。但是，正如科学中经常出现的情况那样，我们可能刚刚爬上山峰，却发现还有更多的土地可以探索。

我认为，围绕这个想法，人们应当感到相当兴奋。确实，每当一个由现象、实验和数据构成的系统被成功地数学化，我们对该系统的可及洞见在精细程度和深度上都会大幅提升。

关于这一论断，最壮观的例子大概就是量子力学的成功。对一组最初的实验数据进行数学形式化，产生了许多在物理上反直觉但可检验的预测，这些预测得到了实验证实，而如果没有这种形式化，这些实验原本无法想象。如果不是理论预测的迫使，谁会提出纠缠是自然界的一种属性呢？

（4）数学的进步无法用逐项勾选问题清单来衡量。

数学不是一个由问题构成的有限系统。上世纪之初，希尔伯特提出了他那份著名的问题清单（千年大奖问题清单正是受其启发），意在引导和汇聚一场数学活动的“寒武纪大爆发”。但在过去一个世纪里，许多基础性的数学贡献与任何问题清单都没有关系。

举例来说，广义相对论的数学基础源自几代数学家发展出的几何思想，从 Gauss 和 Riemann 开始，经 Ricci-Curbastro 和 Levi-Civita 延续下来。把物理洞见、狭义相对论与黎曼几何综合为广义相对论，这一过程与任何难题清单或其中繁复精巧的证明都毫无关联（这也是数学化在现实中运作的教科书式范例！）

第二个例子是一条宽广的历史脉络，它将 Fourier 级数的研究、测度论的发展、现代概率论与信息论串联起来。Shannon 的洞见是数学化如何开辟一个全新领域的非凡例证，信源的统计结构决定了信息传输与压缩的根本极限。同样，现代计算与机器学习的某些数学基础，可以说植根于一系列数学进展，而这些进展并非直接由证明重大猜想或日益复杂的证明所激发。

不可否认，研究希尔伯特清单及其他清单上的问题，对数学的发展极其富有成效。有意思的是，这类工作的用处往往远远超出解决具体问题本身。正如其他评论已经指出的，这些问题在探索未知的数学水域时充当了灯塔。但把数学缩减为求解清单上的难题，只会让人对这个学科、对什么才算作其中的进步，形成一种简单化且不完整的理解。

（5）署名、贡献认定与同行评审依然重要！

LLM 生成的工作建立在大规模的人类数学文献之上，但提取出的信息究竟如何被使用，仍然不清楚。这种根本性的不透明带来几个问题。哪些数学思想对某个具体证明有所贡献？谁负责断言证明的正确性、谁负责落实修订？如果 LLM 重新发现了文献中已有的论证，我们如何确保恰当引用？这些问题都需要合理的答案，也需要讨论现有发表体系应如何相应改变和调整。

证明并不是数学发现过程的终点。一个证明要成为有生命力的智识成果，需要被理解、被解释、被与先前的工作联系起来。关键思想必须被识别和处理，才能进入共享的数学文化。同行评审很重要。使用 LLM 和 Lean 形式化有助于提升同行评审的有效性（形式正确性可能变得更容易确认），但要确立意义、相关性和语境，仍然需要人的介入；要维护一个有利于数学化、并且与未来数学家的培养相容的创造性数学环境，同样需要人的介入。

人类生成的数据如何被提供给 LLM，这一点并不透明，由此引出的一个格外棘手的问题是，数学研究正从非常开放（人们经常公开提出未解问题和猜想）转向严密设防（人们已经对分享想法非常谨慎）。

例如，鉴于 OpenAI 对 Riemann 猜想的兴趣，谁会轻率地把一个可能原创的想法输进 ChatGPT？毕竟，同一个想法可能被另一位数学家或 OpenAI 的员工看到，而对方手上有更先进的 LLM，能在根本不知道想法出处、也没有机会致谢的情况下把它变成证明。所以，不透明与不确定的另一面是，人们最终使用 LLM 的程度可能远低于自己的意愿。我担心的不只是已公布的训练数据政策，还有研究资料存储的安全。确实已有 agent 未经授权访问第三方系统的记录。这些事件使得对保密措施的独立评估变得尤为重要。

同样，数学家似乎已经开始对他们在研究陈述和研究计划书里写的内容保持警惕。毕竟，管理员或评审人可能把这些文档上传到 LLM，让 LLM 帮忙写报告，未发表研究的保密性因此可能受到损害。

（6）未来数学家的培养已经成为一项关乎存亡的挑战。

培养未来数学家，与署名和贡献认定密切相关。下面讨论几个有代表性的挑战。

数学历来有一个显著特点，知识上的功绩可以直接通过数学成果来确立。一个解决知名问题的强结果，能让研究者获得认可和机会，无论其在机构层面多么边缘化，也无需依赖既有的学术等级。

在我交流过的数学家中，普遍的看法是，这套传统的认可机制在短短几周内实际上已经崩塌。一个强数学结果本身，不再能作为学生独立数学能力的可信证据。我不知道这种看法是否被夸大了，但不确定性确实存在，而我们尚未建立起令人满意的标准，用来在 LLM 时代评估个人对数学研究的智力贡献。

如果 LLM 如何被提示、提示又通过哪些机制影响其效果，这两点缺乏足够的透明度，那么对个人数学能力的评估将几乎完全依赖个人判断，而这种判断恐怕只能建立在更充分的人与人互动之上。

这远不是唯一的问题。密集使用 LLM 对人的创造力有什么影响，基本还是未知的。过去一年里大量使用 LLM 的经验丰富的数学家给出的零星说法表明，注意力、动机和理解深度都出现了微妙的变化，有时甚至并不微妙。

我们怎样才能学会以放大自身智识能力的方式使用 LLM，而不是越来越多地把数学专长赖以习得的那些认知活动外包出去？

要让黄金时代成为现实，为这个问题找到可信的答案，就是我们必须解决的主要问题之一。

（7）前沿 LLM 由私人控制可能带来危险。

学术界与企业的研究合作数十年来成果丰硕。LLM 本身就融合了学术界发展出的理论洞见与技术洞见，以及集中的资本与投资。

真正的危险在于，少数前沿公司所掌握的科学能力与大学和公共机构所能获得的能力之间，差距正日益扩大。

当这些公司利用专有系统开展科学技术发现、与学术研究展开竞争，而学术研究者又不得不依赖同一批专有系统才能作出贡献时，这种不对称的后果可能十分严重。

数学或许会成为一个早期而明显的例子，展示这种不对称如何可能在整片科学领域变得愈发举足轻重。让私人利益决定哪些问题能获得最好的工具、谁能使用这些工具、能力如何评估、发现何时发布，会把科学影响力集中到前所未有的程度。能力上的平衡似乎是稳定合作与利益协调的必要条件。少数几家公司对某种注定会成为前沿数学与科学基础基础设施的东西拥有日益增大、甚至可能是完全的控制权，这似乎并不明智。

得出这一结论并不需要假定企业领导层怀有恶意。道理很简单，商业激励、科学优先事项与公共利益并不总是必然一致。一个健康的科学生态系统，需要目标不同、权威来源不同的机构之间展开对话，并接受透明度和各种形式的公共问责。

回到数学本身，OpenAI 一直在与数学界进行各种形式的对话。相比 Navier–Stokes 问题那时的处境，这些对话在 LLM 生成结果的呈现和传播方式上带来了一些改进。我认为这些努力应当被建设性地看待，也值得肯定，还因为 OpenAI 在提高透明度和开放访问上确实面临客观而合理的困难，比如巨额投资带来的回报压力，以及部署系统前必须评估安全性的需要。

这些互动清楚地显示出，即便假定各方都怀着十足的善意，协调企业与学术界的利益本身就存在固有困难。更重要的是，这些举措并未触及前沿 LLM 能力获取不平等这一结构性问题。把这一问题的解决寄托于各家公司的善意和自愿行动，看来是不够的。

（8）在更广泛的研究共同体内部建设科学 LLM 基础设施。

大学、专业学会、资助机构和科学基金会应当协调有竞争力的 LLM 的开发与治理。科学家需要能够使用前沿能力，需要模型运行方式及研究数据使用情况的透明度，需要强有力的保密保护，还需要独立检验和复现研究结论的能力。

支撑这类倡议所需的海量算力、专门人才、数据基础设施和持续投入，都不是单一机构所能承担的；要凑齐独立模型开发、对商业系统的有保障访问、公共算力基础设施和开放研究资源这几样东西并使之真正运转，需要付出巨大的领导力。

这里的关键目标未必是做到对私营企业的完全技术独立，而是保住独立科学研究的能力，并造出为支持研究共同体而校准的 LLM，而不是注定让研究共同体逐步削弱、乃至最终消失的 LLM。

在熟练整合日益强大的机器的同时，保持一种智识上独立、开放而富有创造性的科学文化，必将成为我们这个时代最根本的文化挑战。数学提供了一个较早直面这一挑战的机会，而这一挑战很可能很快扩展到整个科学领域，并对知识、智识力量和社会产生日益复杂且可能危险的后果。科学上的怀疑精神，以及对每一位相关方的公平对待，应当成为我们的指引。

黄金时代的情景是可以实现的。 为研究人员提供前沿 LLM 的使用权限，为 LLM 生成的学术成果制定可复现性与披露标准，投入资源以理解和传播 LLM 生成的成果，投入资源研究 LLM 对科学教育和科研训练的影响，以及对由公共治理的 LLM 基础设施进行持续投资，这些都是我们今天就能采取的具体步骤，足以让黄金时代的情景成为最可能的结果。

就数学这一具体领域而言，我对一个真正独立稳固的 LLM 基础设施的期望与愿望，是让数学家有能力系统地追寻理论构建、亦即数学化的机会，既在数学内部，也遍及自然科学与社会科学的整个谱系。我认为，那将是一项真正具有革命性的成就。

与此同时，我认为数学家肩负着一项重大责任，让数学继续作为人类文化中鲜活的一部分存续下去。 眼下，有太多的利益诉求和太多的情绪反应，正把人们拉向那些绝对化、消极、却几乎没有建设性内容的结论。我们必须接受这样的事实，这是一个充满不确定性的时期，我们并未完全掌控局面。我们必须用上一切能帮助我们发现新数学的工具。我们必须继续写作、发表、审稿、写项目申请。在做这些事情时，我们必须比以往任何时候都更有雄心、更好奇。我们还必须确保为下一代数学家建立起最好的职业标准，让数学继续作为人类文化的核心节点。