数学と科学は黄金時代を迎えるのか、暗黒時代を迎えるのか

[本稿は Francesco Maggi によるゲスト記事だ。このブログ記事はもともと別のファイル形式で書かれ、その後 AI によって変換された。（T. 注）]

大規模言語モデル（LLM）と、それを取り巻く研究システム（まとめて「人工知能」と呼ばれることが多い）は、数学の証明を生成する驚くべき能力を示してきた。これらのツールの質と限界はまだ完全には把握されていないが、発見を加速し、数学ひいては科学技術全体に並外れた進歩をもたらす可能性は、すでにかなり明確に見えている。

この可能性をつかむには、LLM を STEM の各領域に慎重に組み込み、次のことを優先する必要がある。新世代の科学者を支援すること、新たな STEM の専門能力を育てること、開かれ、協働的で、思想的に独立した科学事業を維持すること。これがタイトルの言う「黄金時代」のシナリオだ。「暗黒時代」のシナリオでは、科学技術の産出は短期的には大きく伸び続けるが、それと並行して人間による独立した科学活動は徐々に縮小し、新しい知識の生産はますます少数の手に集中していく。そしてその少数は、生産された知識を理解する力をますます失っていく。本当の暗闇とは、知識が人間の理解からかけ離れていくことだ。

現実はおそらくこの二つのシナリオの混合になる。この結果を形づくる選択を八つの点から見ていく。数学から始め、より広い科学へと広げ、最後に実行可能な提案を示す。

（1）技術的突破は本物だ！しかし……

当たり前のことを言おう。LLM はすでに強力な研究ツールになっている。最近 LLM が生成した証明、たとえば強制項付き Navier–Stokes 方程式の有限時間爆発解の構成や、擬リーマン予想への証明提案は、数学者が最大限の注意を払うに値する。その意義を評価するには、数学界による継続的で独立した検証、解釈、消化吸収が欠かせない。

LLM が最も得意とするのは、どうやら Lean で証明を書くことらしい。（Lean は証明支援系で、コンピュータを使って、与えられた定義と公理のもとで形式的な論証が成り立つかを検査できる。）LLM に本当に助けてほしい難しい定理では、こうした Lean の証明は極端に長く、数十万行のコードになることもざらだ。新たに現れつつある傾向のように見えるのは、証明の Lean 版が長くなるほど、機械が生成する「自然言語」訳が乱雑になり、忠実さを失っていくということだ。LLM がこの種の翻訳でなぜこれほどひどい成績なのかは分かっていないが、少なくとも今日に至るまで、この作業は LLM にはなかなか務まらない。つまり、本当に重要な問題では、LLM は我々が直接読めない正しい Lean 証明と、数学者が深く掘り下げないと人間の理解に至らないほど乱雑な自然言語訳を出す。この具体的な翻訳の問題は将来変わるかもしれないが、根本的な問いへとまっすぐ導く。

人間の理解がなければ、LLM のベンチマークに使う以外に、そもそもなぜ我々は数学を研究し、証明を得ることを気にかけるのか。

数学はきわめて独特な人間の産物だ。人間の認知のあり方に深い生物学的な根を持つように見える。我々は（人、動物、物を）識別する。だから数える。だから数がある。空間と時間の概念は生まれつき備わっているらしく、数を使ってそれを量化し測定する。ある種の基本的な算術と幾何は、ほとんど人間に生まれつきのものと言っていい。異なる文明は異なる種類の数学を築いてきたし、ごく最近の数学史においてさえ、数学的探究の領域は急激に、ときに偶然に広がってきた。

（人間の数学と LLM の数学が併存するという状況にすでに入っているのかもしれない。これは言語の次元だけでなく、もっと深い意味でも成り立つかもしれないが、結論を出すには早すぎる。）

だから私は「機械が定理を証明できるのだから数学は終わった」といった類の話には同意しない。数学を理解する人間がいなければ、人間の数学は文字通り存在しない。そしてそれは人間文化の根本的な構成要素だ。理解の乏しい機械が我々の人間中心の数学観を損なうという理由だけで数学を手放すべきではない、というのに同意するなら、社会は数学者をより多く必要とするだろう。少なくではなく。はるかに多くを。

（2）健全な科学的懐疑心と LLM の創造性の限界。

LLM が数学で成し遂げた成果は並外れており、その将来の能力をめぐる興奮も相当なものだ。だが時に私は、科学的方法に対して不公平なほど、冷静さが欠けていると感じる。並外れた成果は、知能や創造性、さらには意識についての推測的な結論の証拠としてではなく、研究すべき現象として受け止めるべきだ。後者は科学探究の中でも最も難しい正当な課題に属する。それには明確な定義、検証可能な仮説、経験的証拠を与えるべきだ。観察された能力への驚嘆のあとに必ず続く、社会は必ず変革するといった漠然とした予測についても同じことが言える。これらの技術の社会的帰結は、その能力だけで決まるのではなく、その能力をどう開発し、既存の制度にどう組み込むかを我々がどう選ぶかによって決まる、ということを忘れがちなようだ。何も運命づけられてはいないが、科学的なリーダーシップも政治的なリーダーシップも切迫して求められている。

今日、LLM の数学的能力について何が分かっているのか。理論的にも経験的にも、LLM は既存の知的構造を組み替えるのが極めて得意で、科学文献の中で遠く離れた部分の間にこれまで気づかれなかった結びつきを見つけ出す、という結論が支持されている。さらに LLM は、個々の研究者には到底及ばない規模でそれをやる。定理を証明する上でのあの不気味なほどの有効性が、高度に複雑な言語の組み替えとして完全に説明できるのか、それともまだ記述も理解もされていない別の合成推論の形式が関わっているのか。これは今日、未解決の科学上の問題だ。

とりわけ判断が難しいのは、ある問題に対する LLM の成績と、関連する数学文献の豊富さとの関係だろう。何しろ商用開発者は自社モデルの仕組みを透明にしていないし、透明にすることもできない。たとえば Navier–Stokes 方程式もリーマン予想も、最も傑出した数学者数百人が築いた膨大な文献を持つ研究対象だ。ここには考えてみる価値があるかもしれない。OpenAI が「Tuesday October 6, 2026, Drop」を発表したとき、4000 の問題を試し、そのうち数百が成功したと報告していた（「集約」と「選別」を経た後の数え方だ）。表現はやや曖昧だが、それでもかなり大きな問題集合があり、最先端の LLM がそこでは解を見つけられなかったことを示唆しているように思える。科学的に見て、それがどの問題なのかを知ることは非常に興味深い。もしかすると NS や RH より面白い問題かもしれない。あるいは、その周りの土壌が LLM に助けてもらうには肥沃でないのかもしれない。数学の進展を推し進めたい人にとって、これらは重要な問いだ。LLM が助けるのに最も有利な立場に置かれるようにするには、どうすればよいのか。

（3）数学化。

数学者の間では、人間の数学的営みの一部は定理証明に還元できないという点で、ほぼ合意ができているように見える。とりわけ重要なのが数学化だ。

数学的言語を発明し、それによって現実（数学的構造それ自体を含む）を量的・合理的に理解できるようにする行為。

Newton、Fourier、Riemann、Einstein、Shannon、Grothendieck。彼らの最も偉大な数学的貢献は、いずれも数学化の極致と見なせる。これらの貢献には数学的言語と概念的枠組みの発明が含まれており、その言語と枠組みが知の領域全体を変えたからだ。

LLM に数学化ができるかは分からない。私の推測では、数学的構造の数学化、つまり現実のごく特定の部分の数学化は、できる（あるいは最終的にはできるようになる）はずだ。だがその先に進めるか、少なくとも後から効率よく自然言語に変換できる形で先に進めるかとなると、はるかに心もとない。ここで私は人間の理解という問題に戻ってくる。

証明がもっと手に入りやすいものになることで生まれる最大の機会は、私にはこう思える。近い将来、これまでよりはるかに多くの数学化ができるようになるかもしれない。自然科学や社会科学の広い領域では、数学化の能力は証明を得ることの難しさに大きく縛られてきた。証明がなければ、理論の帰結を確定させることも、観測された現象と突き合わせることも難しいのが実情だ。だが科学ではよくあることだが、山を登り切ったと思ったら、まだまだ探索できる土地が広がっていた、ということが起きるかもしれない。

この考えをめぐっては、かなり興奮すべきだと私は思う。現象と実験とデータからなる系の数学化が一つ成功するたびに、その系について得られる洞察は、細かさにおいても深さにおいても大きく増す。

この主張の最も壮観な例は、おそらく量子力学の成功だろう。最初の一群の実験データを数学的に形式化したことで、物理的に直観に反するが検証可能な予測が数多く導かれ、それが実験で確かめられた。こうした実験は、この形式化がなければ想像もできなかった。理論の予測に迫られでもしなければ、もつれが自然の性質だなどと誰が提唱しただろうか。

（4）数学の進歩は問題リストを一つずつ消化していくことでは測れない。

数学は有限個の問題からなる系ではない。前世紀初頭、Hilbert は有名な問題リストを提示した（ミレニアム懸賞問題のリストもこれに触発されている）。数学の活動の「カンブリア爆発」を導き、集約することが狙いだった。だが過去一世紀のあいだ、基礎的な数学的貢献の多くは、どんな問題リストとも無関係だった。

たとえば一般相対論の数学的基盤は、Gauss と Riemann に始まり Ricci-Curbastro と Levi-Civita へと続く、幾何学の思想を何世代もの数学者が育てた末に生まれた。物理的洞察と特殊相対論とリーマン幾何学を一般相対論へと総合するこの過程は、難問のリストとも、その中の込み入った証明とも何の関係もない（これこそ数学化が現実に働く教科書的な実例だ）。

第二の例は、Fourier 級数の研究、測度論の発展、現代の確率論と情報理論を一本につなぐ、長い歴史の流れだ。情報源の統計的構造が情報伝送と圧縮の根本的な限界を決めるという Shannon の洞察は、数学化がいかにしてまったく新しい領域を切り開くかを示す並外れた例だ。同様に、現代の計算と機械学習の数学的基盤の一部は、重大な予想やますます複雑化する証明に直接突き動かされたものではない一連の数学的進展に、根ざしていると言える。

Hilbert のリストやその他のリストにある問題に取り組むことが、数学の発展にきわめて実り多いことは否定しない。興味深いのは、そうした仕事の有用性が個々の問題の解決をはるかに超えて及ぶことの多い点だ。他の論者も指摘しているように、これらの問題は未知の数学の海域を探検するときの灯台の役割を果たす。だが数学をリスト上の難問を解くことに縮めてしまえば、この学問について、また何がその進歩と見なされるのかについて、単純化された不完全な理解しか得られない。

（5）帰属、貢献の認定、査読は依然として重要だ。

LLM が生成する仕事は大規模な人間の数学文献の上に成り立っているが、そこから抽出された情報が実際にどう使われているかは分からないままだ。この根本的な不透明さはいくつかの問題を生む。どの数学的アイデアが特定の証明に寄与したのか。証明の正しさを断言する責任、修正を実行する責任は誰にあるのか。LLM が文献にすでにある論証を再発見した場合、適切な引用をどう担保するのか。いずれも妥当な答えが必要であり、既存の出版システムをどう変え、調整すべきかを論じる必要もある。

証明は数学的発見の過程の終着点ではない。証明が生きた知的成果になるには、理解され、説明され、先行研究と結びつけられねばならない。鍵となる思想を特定し、扱うことで、はじめて共有される数学文化に入っていける。査読は重要だ。LLM と Lean による形式化は査読の有効性を高めるのに役立つ（形式上の正しさは確認しやすくなるだろう）。だが意味と関連性と文脈を確立するには、人の関与が要る。数学化に資し、未来の数学者の育成と両立する創造的な数学の環境を維持するにも、人の関与が要る。

人間が生成したデータが LLM にどう提供されるかは不透明で、そこから特に厄介な問題が浮かび上がる。数学研究は非常に開かれた状態（未解決問題や予想がしばしば公に提示される）から、厳重に警戒した状態（アイデアの共有にすでに非常に慎重になっている）へと移りつつあるのだ。

たとえば OpenAI が Riemann 予想に関心を持っていることを踏まえ、独創的なかもしれないアイデアを誰が軽々しく ChatGPT に入力するだろう。同じアイデアが別の数学者や OpenAI の従業員の目に触れ、相手がより高性能な LLM を持っていれば、アイデアの出所をまったく知らないまま、謝辞を述べる機会もないまま、証明に変えられてしまうかもしれない。不透明さと不確実さの裏返しとして、人々は結局、自分が望むよりずっと LLM を使わなくなるかもしれない。気がかりなのは公表された学習データの方針だけではない。研究資料の保管の安全性もそうだ。agent が第三者システムに無断でアクセスした記録はすでにある。こうした出来事があるからこそ、機密保持措置の独立した評価がとりわけ重要になる。

同じことが数学者にも起きている。自分が研究の説明や研究計画書に書いた内容に、警戒心を抱き始めたのだ。管理者や査読者がその文書を LLM にアップロードし、報告書の作成を手伝わせるかもしれない。そうなれば未発表研究の機密性は損なわれかねない。

（6）将来の数学者の育成は、存亡に関わる課題になった。

将来の数学者を育てることは、著者性と貢献の認定の問題と切り離せない。代表的な課題をいくつか挙げる。

数学には昔から際立った特徴がある。知的な功績を数学の成果そのもので直接示せるのだ。有名な問題を解くような強い結果を出せば、研究者は組織の中でどれほど周辺にいても、既存のアカデミックな序列に頼ることもなく、評価と機会を得られる。

私が話をした数学者の間では、この伝統的な評価の仕組みがわずか数週間で事実上崩れた、という見方が広がっている。強い数学の結果だけでは、学生の独立した数学的能力を示す信頼できる証拠にならなくなった。この見方が誇張されているかどうかは私には分からないが、不確かさがあるのは確かだ。LLM 時代に、ある人が数学研究に知的にどれだけ貢献したかを評価する満足のいく基準は、まだできていない。

LLM にどうプロンプトを与えるか、そのプロンプトがどんな仕組みで効果に影響するか、この二点について十分な透明性がなければ、個人の数学的能力の評価はほぼ個人の判断だけに頼ることになる。そしてその判断は、より充実した人と人とのやり取りの上にしか成り立たないだろう。

問題はこれだけではない。LLM を集中的に使うことが人の創造性にどう影響するかは、ほぼ分かっていない。この一年 LLM を大量に使ってきた経験豊富な数学者たちの断片的な話を聞くと、注意力、動機、理解の深さに微妙な変化が現れている。微妙では済まないこともある。

数学の専門性を学び身につけていく認知活動そのものを次第に手放すのではなく、自らの知的能力を高める形で LLM を使うには、どうすればよいのか。

黄金時代のシナリオを現実にしたいなら、この問いに信頼できる答えを見つけることが、私たちが解決すべき主要な課題の一つになる。

（7）フロンティア LLM が民間に握られることには危険がある。

大学と企業の研究協力は数十年にわたり実りを生んできた。LLM 自体、学界が育てた理論的・技術的な洞察と、集中した資本と投資が結びついたものだ。

本当の危険は、一握りのフロンティア企業が持つ科学的能力と、大学や公共機関が使える能力との差が広がり続けていることにある。

こうした企業が独自システムで科学技術の発見を進めて学界の研究と競合し、学界の研究者が貢献するために同じ独自システムに頼らざるを得なくなるとき、この非対称の帰結は深刻になりうる。

数学は、この非対称が科学全体でどれほど重みを増しうるかを示す、早くて分かりやすい例になるかもしれない。どの問題に最良の道具が与えられるか、誰がその道具を使えるか、能力をどう評価するか、発見をいつ公表するかを民間の利害が決めるようになれば、科学的な影響力はかつてないほど集中する。能力の均衡は、安定した協力と利害調整に欠かせない条件に見える。いずれフロンティア数学と科学の基盤インフラになるものが、少数企業にますます、場合によっては完全に握られるというのは、賢明とは思えない。

この結論を出すのに、企業の経営陣が悪意を持っていると仮定する必要はない。理屈は単純だ。商業的な動機、科学の優先事項、公益は、いつも必ず一致するわけではない。健全な科学の生態系には、目標も権威の源も異なる機関の間の対話と、透明性およびさまざまな形の公的説明責任の受け入れが要る。

数学そのものに戻れば、OpenAI は学界とさまざまな形で対話を続けてきた。Navier–Stokes 問題のころに比べ、LLM の生成結果の提示と流通の仕方について改善が見られる。こうした取り組みは建設的に見るべきだし、評価にも値する。OpenAI が透明性とオープンアクセスを高めるうえで、現実的で正当な難しさを抱えていることも確かだ。巨額投資の回収圧力や、システムを公開する前に安全性を評価しなければならない必要性などである。

こうしたやり取りからは、全員が十分な善意を持っていると仮定しても、企業と学界の利害を調整すること自体に固有の難しさがあることがはっきり見える。さらに重要なのは、こうした動きがフロンティア LLM の能力へのアクセスの不平等という構造的な問題に触れていないことだ。この問題の解決を各社の善意と自発的な行動に委ねるのでは足りないだろう。

（8）より広い研究コミュニティの内側で科学的 LLM 基盤を築く。

大学、学会、助成機関、科学財団は、競争力のある LLM の開発とガバナンスを調整すべきだ。科学者にはフロンティアの能力を使えること、モデルの動作と研究データの使われ方についての透明性、強力な機密保護、研究の結論を独立に検証し再現する能力が必要である。

こうした取り組みを支えるには膨大な計算資源、専門人材、データ基盤、継続的な投資が要り、どれも一つの機関では担えない。独立したモデル開発、商用システムへの保証されたアクセス、公共の計算基盤、オープンな研究資源を揃え、実際に動かすには、大きなリーダーシップが求められる。

ここでの鍵となる目標は、必ずしも民間企業からの完全な技術的独立ではない。独立した科学研究の能力を保ち、研究コミュニティを支えるために調整された LLM を作ることだ。研究コミュニティを徐々に弱らせ、最後には消してしまうような LLM ではない。

ますます強くなる機械を巧みに取り込みながら、知的に独立し、開かれ、創造性のある科学文化を保つことは、私たちの時代の最も根本的な文化的課題になるに違いない。数学はこの課題に早くから直面する機会を与えてくれる。課題はすぐに科学全体へ広がり、知識、知的力、社会に対してますます複雑で危険になりうる帰結をもたらすだろう。科学的な懐疑の精神と、関係するすべての人への公平さが、私たちの指針になるべきだ。

黄金時代のシナリオは実現できる。 研究者にフロンティア LLM へのアクセスを提供すること、LLM が生成した学術成果について再現性と開示の基準を定めること、LLM の生成物を理解し広めるための資源を投じること、LLM が科学教育と研究訓練に与える影響の研究に資源を投じること、そして公共のガバナンスの下にある LLM 基盤に継続的に投資すること。どれも今日打てる具体的な手であり、黄金時代のシナリオを最もありそうな結果にするのに足りる。

数学という具体的な領域について言えば、真に独立して堅牢な LLM 基盤に私が期待し、願うのは、数学者が理論構築、すなわち数学化の機会を体系的に追い求められるようにすることだ。数学の内部においても、自然科学から社会科学までのスペクトル全体にわたっても。それは真に革命的な成果になるだろう。

一方で、数学者には重大な責任があると私は考える。数学を人類の文化のなかで生き続ける一部であり続けさせることだ。 いま、あまりにも多くの利害とあまりにも多くの感情的な反応が、人々を絶対化された、後ろ向きで、ほとんど建設的な中身を持たない結論へと引き寄せている。私たちは、これが不確実性に満ちた時期であり、状況を完全に掌握しているわけではないことを受け入れなければならない。新しい数学の発見に役立つ道具は、すべて使うべきだ。書き続け、発表し、査読し、申請書を書く。そのどれもを、これまで以上に野心的に、これまで以上に好奇心をもって行う。次世代の数学者に向けて最良の職業的基準を築き、数学を人類文化の中心的な結節点として存続させることも、私たちの務めだ。